케플러 법칙과 행성의 운동

 

 케플러 법칙은 정말 많은 우주와 관련된 연구와 기술을 받치고 있는 수학적 기반이죠. 잊을만하면 온갖 곳에서 튀어나오는 케플러 법칙. 단순한 수학적 베이스로 넘기기 쉽지만 최애 과학자가 케플러인 사람으로서 좀 더 깊게 다뤄보지 않을 수 없습니다.

 

지금부터 단순한 교과서 내용을 넘어서,

케플러 법칙

을 한 번 씹고 뜯고 맛보고 즐겨보도록 하겠습니다.

 

 

케플러 법칙이란?

 먼저 케플러 법칙이 무엇인지, 어떤 의미를 갖는지 간단하게 보도록 하겠습니다. 아시다시피 간단히 정리하면 항성을 공전하는 행성의 운동에 대한 법칙입니다. 오래전 대부분의 사람들이 지구가 고정되어 있고 태양이 지구 주의를 돈다는 천동설을 신봉하고 있을 때가 있었죠. 케플러 법칙은 이 천동설의 반박을 뒷받침하는 거의 최초라고 할 만한 과학적 근거가 되기도 했습니다. 케플러는 튀코 브라헤라는 천문학자가 관측하고 정리한 자료를 통해 법칙을 발견했습니다. 튀코 브라헤는 방대하고 질 좋은 관측 자료가 있었지만 자료에서 규칙을 찾지 못했고, 케플러는 그 사이에서 규칙을 찾아내지만 법칙을 발견했을 당시 왜 행성들이 이런 규칙을 따르는지에 대한 증명은 부족했습니다. 이는 이후 뉴턴이 만유인력의 법칙을 완성하고 증명해 냅니다. 과학이 세대를 넘어 이어지고 발전하는 것이 보이는 이야기 중 하나죠.

 

 

 제1법칙: 타원 궤도의 법칙

 행성의 공전 궤도는 항성에 대해 원일점, 근일점이 있는 타원이라는 것입니다. 당시에는 행성의 공전 궤도가 완벽한 원이라는 믿음이 팽배했는데, 케플러가 이를 반박한 것이죠. 케플러 법칙은 제3법칙까지 있는데 이는 제1법칙이지만 발견 순서상으로는 2번째입니다.

 

 제2법칙: 면적 속도 일정의 법칙

 간단하게 공식으로는 S1 = S2라고 쓰고, 행성의 공전 궤도가 일정 시간 동안 쓸고 지나간 넓이는 항상 같다는 법칙이죠. 이는 행성의 위치, 즉 항성으로부터의 거리의 변화에 따라 공전의 속도가 달라짐을 의미합니다. 제1법칙과 마찬가지로 이는 행성은 항상 일정한 속도로 공전한다는 당시의 편견을 깬 결과라고 할 수 있습니다. 발견 순서상으로는 제2법칙이 첫 번째라고 합니다.

 

 제3법칙: 조화의 법칙

 a 세제곱 분의 T 제곱은 일정하다, 다른 형태로 표현하면 T 제곱과 a 세제곱은 비례한다라고 표현되는 법칙이며 발견 순서는 세 법칙 중 가장 마지막입니다. 이는 비리얼 정리의 한 가지 경우인데, 비리얼 정리는 물체의 운동에서 평균 운동에너지와 평균 위치에너지가 비례한다는 정리입니다. 간단한 수식으로 2T = -Vtot라고 표현하며 여기서 T는 평균 운동에너지, Vtot는 평균 위치에너지를 나타냅니다.

 

 

 뉴턴의 중력 법칙

 여러분이 가장 잘 아시는 F = G x Mm/r^2라는 공식으로 설명되는 법칙입니다. 뉴턴은 케플러 법칙의 도움을 받아 만유인력에 대한 법칙을 유도했고, 따라서 뉴턴의 중력 법칙으로 케플러 법칙을 증명할 수 있습니다. 뉴턴에 대해서도 정말 방대한 내용이 있지만 다음 기회에 설명하도록 하겠습니다.

 

 

제3법칙 +α

 이제 케플러 3법칙 중 제3법칙을 실제 자료를 사용해서 알아볼 텐데요, 여기 천왕성이 있습니다. 위의 숫자들은 소수점 둘째 자리에서 반올림한 천왕성의 공전 궤도 긴반지름과 공전 주기입니다. 그 아래에는 각각 a 세제곱과 T 제곱의 값이고요. 케플러 제3법칙에 의거해 a 세제곱 분의 T 제곱을 계산하면 약 1.0007로 1에 근사하죠. T와 a의 값을 소수점 아래로 정확히 구해 계산하기란 불가능하므로 정확한 1은 얻어내기 힘듭니다. 우리는 결괏값이 1에 근사함을 확인하여 제3법칙이 실제로 적용됨을 알 수 있습니다. 정말 근사하지 않나요.

천왕성은 예쁩니다.

 

 

응용 분야

 케플러 법칙은 기본적으로 공전하는 행성에 대한 법칙이기 때문에 비슷한 포지션의 다양한 분야에 응용될 수 있습니다. 지구를 도는 인공위성과 우주 정거장, 중력을 이용하는 로켓의 궤도 진입 등 우주 산업 분야에서 활용되고 있습니다. 또한 새로 발견되는 외계 행성들과 먼 우주에서 태양계를 방문하는 혜성의 궤도에 대한 연구에도 기반이 되고 있죠. 우주를 연구하는 데에 대단히 넓은 수학적 근간이 되는 법칙이라고 할 수 있습니다.